Produtos escalar e vetorial, parte 1.

Existem outras operações entre vetores além da soma (link), duas dessas operações são chamadas de produto escalar e produto vetorial. Como seus próprios nomes sugerem, eles dão origem a um escalar e a um vetor, respectivamente. Identificá-los será de grande ajuda para você reconhecer quando estará diante de uma grandeza escalar ou vetorial, caso ela seja desconhecida no momento. Eu abordarei esses produtos de duas formas diferentes, uma envolvendo o módulo e outra envolvendo as componentes vetoriais.

Produto Escalar (E) por módulo.

É o produto que tem como resultado um escalar. Considere dois vetores a e b, o produto escalar deles dependerá de seus módulos e do cosseno do ângulo 𝛂 (alfa) entre eles:

E = |a||b|cos𝛂

Onde |a| e |b| são os módulos dos vetores a e b. Note que esta operação só funciona com vetores que possuem módulos constantes. Caso sejam variáveis seus módulos, o cálculo dependerá de outros fatores. No caso de o ângulo ser constante, a área do gráfico entre as duas grandezas vetoriais a e b nos dará o produto escalar entre elas. É o que acontece quando calculamos o trabalho realizado por uma força (F) quando esta causa o deslocamento (Δx) de um corpo sobre um plano horizontal.

O trabalho (W) da força (F) no caso da imagem acima depende do ângulo entre ela e o deslocamento (Δx) do corpo e do próprio deslocamento.

W = |F||Δx|cos𝛂

Produto Vetorial (V) por módulo.

É o produto que tem como resultado um novo vetor. Considere dois vetores a e b, o produto vetorial deles dependerá de seus módulos e do seno do ângulo 𝛂 (alfa) entre eles, dando origem a um vetor perpendicular ao plano formado pelos vetores a e b:

|V| = |a||b|sen𝛂

Onde |V|, |a| e |b| são os módulos dos vetores V, a e b. Note que esta operação, assim como o produto escalar, só funciona com vetores que possuem módulos constantes, nos dando como resultado apenas o módulo do vetor V. Caso sejam variáveis seus módulos, o cálculo dependerá de outros fatores. No caso de o ângulo ser constante, a área do gráfico entre as duas grandezas vetoriais a e b nos dará o produto escalar entre elas. É o que acontece quando calculamos o torque (𝝉) realizado por uma força (F) quando esta causa a rotação de um corpo distante um raio (r) de seu centro de rotação.

Uma outra ilustração para o torque é com uma chave apertando ou afrouxando uma porca junto a um parafuso.

Para entender a direção e o sentido do vetor resultante no produto vetorial, ou do torque, use a regra da mão direita. A força é representada pelo movimento da palma da mão, o raio é representado pelos dedos indicador, médio, anelar e mínimo. O torque terá direção e sentido apontados pelo polegar, desde que este faça um ângulo reto com os demais dedos e forme com eles um plano. Confuso? Veja a imagem:

Representando vetores em três dimensões.

Consideremos agora um vetor V com três dimensões, ou seja, que tenha uma projeção sobre os eixos x, y e z do espaço cartesiano, aqui eu as chamarei de a, b  e c, nesta ordem.

Você verá que se faz a decomposição de V (verde) da mesma forma que em duas dimensões, projeta-se sua "sombra" sobre cada um dos eixos, traçando retas (tracejado vermelho) paralelas aos planos formados pelos outros dois eixos. Se está confuso, eu detalho mais, veja só: para projetar sobre o eixo z (vetor c), eu tracejei uma reta paralela ao plano xy, para projetar sobre o eixo x (vetor a), eu tracejei uma reta paralela ao plano yz, para projetar sobre o eixo y (vetor b), eu tracejei uma reta paralela ao plano xz. Como z está na nossa "vertical" e x está na nossa horizontal, antes de projetar sobre x e y, eu projetei sobre o plano formado por x e y, para facilitar minha vida, só isto.

Digamos agora que o vetor V tenha componentes com os valores 12, 4 e 3 nas direções x, y e z, respectivamente. Isto significa que |a| = 12, |b| = 4 e |c| = 3. O módulo de V será 13. Mas como eu sei disso? Trabalhei com a relação pitagórica em duas etapas, veja só:

Considere o vetor d (violeta) no plano xy, ele é a resultante entre a e b, as componentes x e y de nosso vetor V. Como eu sei que os eixos x, y e z são perpendiculares entre si, daqui para frente, basta usar o teorema de Pitágoras.

|d|² =  |a|² + |b|²

O quadrado do módulo de d é igual à soma dos quadrados dos módulos de a e b. Por outro lado, d e c também são perpendiculares entre si, pois d pertence ao plano xy e c ao eixo z. Então temos:

|V|² = |c|² + |d|²

Ou seja, o quadrado do módulo de V é igual à soma dos quadrados dos módulos de c e d. Mas como d pode ser expresso em termos de a e b, resulta que o módulo de V é expresso em termos dos módulos de a, b e c.

|V|² = |a|² + |b|² + |c|²

Se a, b e c valem, em módulo, respectivamente, 12, 4 e 3, temos:

|V|² = (12)² + (4)² + (3)²

|V|² = 144 + 16 + 9

|V|² = 169

|V| = 13

Note que, ao resolver a raiz quadrada, temos duas raízes possíveis, uma positiva e outra negativa, mas ficamos apenas com a raiz positiva por se tratar de módulo.

Também podemos o vetor V pela seguinte notação, chamada de expressão cartesiana:

Com este detalhe somos capazes de saber a componente de V em qualquer direção e basta aplicar a relação pitagórica para descobrir seu módulo.

E como são os produtos escalar e vetorial utilizando expressões cartesianas? Eu deixarei isto para uma próxima oportunidade. Caso queira fazer exercícios, sugira buscar por "exercícios de produto escalar pdf" no google, a mesma ideia valendo para o produto vetorial. Bons estudos. Se precisar de alguma ajuda, comente aí... ou olhe na página sobre aulas particulares. Até a próxima.