Leis de Kepler.

Kepler foi um alemão protestante que viveu na Europa em um período (1571 a 1630) de perrengues constantes entre católicos e protestantes. Isto o fez se mudar com a família em mais de uma oportunidade em busca de um lugar onde pudesse trabalhar em paz.

Johannes Kepler e um planeta batizado em sua homenagem.

Kepler foi um excelente astrônomo e matemático, mas péssimo professor. Parecia não se importar com isto e se dedicou a solucionar certos enigmas da natureza, como ajustar uma hipotética relação entre as medidas dos poliedros platônicos e os raios das trajetórias dos planetas de nosso sistema solar. Como a figura abaixo mostra:

Mysterium Cosmographicum

Após inúmeras mudanças ele se encontrou em Praga com um astrônomo dinamarquês chamado Tycho Brahe. Tycho não era brilhante em matemática como Kepler, mas era bem relacionado e recebeu patrocínio da realeza para estudar o céu noturno do hemisfério norte, se dedicar a observações astronômicas era seu forte.

Tycho Brahe e um sextante semelhante ao construído por ele.

Tycho Brahe passou quase duas décadas de sua vida anotando dados sobre posições de objetos no céu noturno. Para esta tarefa ele fez uso de um sextante. Vale observar que até Galileu entrar em cena, toda observação astronômica era feita a olho nu com a ajuda de equipamentos como o sextante.

Após a morte de Tycho em 1601, Kepler teve acesso a todos os dados anotados por ele nas décadas anteriores. Isto permitiu a ele desvendar parte do comportamento da natureza a nível de sistema solar.

É importante citar que, no século anterior, o grupo dominante no aspecto político, ou seja, a igreja católica, insistia no modelo ptolomaico para o sistema solar. Aquele no qual a terra é o centro do universo conhecido. Vale observar que o Ptolomeu aqui citado é o mesmo citado na postagem sobre o modelo atômico de Bohr (link).

Modelo ptolomaico.

Após quase quinze séculos, as dúvidas se acumularam sobre a capacidade deste modelo de explicar e descrever o comportamento dos astros de nosso sistema. Nicolau Copérnico (1473 a 1543) publicou um livro sob pseudônimo, por medo de represálias, propondo uma nova abordagem heliocêntrica. Giordano Bruno (1548 a 1600) foi queimado por defender as ideias de Copérnico publicamente.

Giordano Bruno (esquerda) e Nicolau Copérnico (direita).

Comparação entre os modelos ptolomaico e copernicano.

Homenagem (1888) de Nicolas Camille Flammarion a Giordano Bruno.

Dado todo este contexto, Kepler precisava de dados experimentais para provocar alguma mudança de paradigma. Algo que alguns youtubers brasileiros ainda não aprenderam até o momento no qual este texto é publicado. Algo, porém, ele sabia, era necessário mudar. Pois o modelo ptolomaico falhava de forma grotesca em explicar o movimento retrógrado descrito pelos planetas.

Movimento retrógrado de um planeta.

Aliás, para os gregos na antiguidade, todos os corpos celestes brilhavam como estrelas. Alguns vagavam pelo céu ao longo da noite, sem um destino claro. Estes foram batizados de "ástrons planétes" por eles, algo como astros errantes.

Kepler gastou muito tempo para encontrar uma forma geométrica condizente com as posições anotadas por Tycho Brahe para o planeta marte em nossos céus ao longo dos anos. A circunferência foi tentada de várias formas e não teve como, a discrepância diante dos dados era considerável. Você pode até imaginar que não tenha sido algo complicado, mas veja a figura abaixo.

Perspectiva de fora do sistema solar.

Observe as posições numeradas para a terra e marte. Números iguais, posições no mesmo instante de tempo. Assumindo que terra e marte orbitam o sol, a curva traceja é o que nós observamos como trajetória de marte a partir da superfície da terra. É necessário uma mente brilhante para conceber a ideia de que aquela trajetória é fruto de dois corpos se movimentando ao mesmo tempo ao redor de um corpo em comum, no caso o sol.

Apresentados todos esses detalhes, vamos às Leis de Kepler:

1ª Lei de Kepler: Lei das Órbitas Elípticas.

"O planeta em torno do sol descreve uma órbita elíptica em que o sol ocupa um dos focos."

1ª lei de Kepler.

Parece algo muito simples de ser dito, mas Kepler gastou quase sete anos fazendo cálculos para se certificar que a elipse é a forma geométrica adequada. Para o caso de você não saber, elipse é uma espécie de circunferência alongada em um eixo e achatada em outro eixo. E esses dois eixos são perpendiculares entre si e se encontram no centro da elipse. Focos são dois pontos sobre o eixo maior igualmente distantes do centro.

Elipse e pontos de destaque dela.

Ainda sobre a primeira lei de Kepler, é necessário destacar que o ou ponto chamado de foco onde o sol não está fica vazio, ou seja, não é ocupado por corpo algum. Outro detalhe é que os vértices da elipse recebem nomes específicos. Aquele mais perto do sol é chamado de periélio ou perigeu, o mais distante é chamado de afélio ou apogeu.

2ª Lei de Kepler: Lei das Áreas.

"A linha que liga o planeta ao sol varre áreas iguais em intervalos de tempos iguais"

2ª Lei de Kepler.

A partir da imagem acima é possível notar que o planeta passa do ponto A para o ponto B e a linha que conecta o planeta ao sol varre uma área destacada em azul. Isto ocorre dentro de um determinado intervalo de tempo. O mesmo se pode dizer do planeta se deslocando do ponto C para o D. Caso as áreas marcadas em azul sejam iguais, os intervalos de tempo a elas associados serão iguais. Isto implica que as velocidades próximas ao afélio e ao periélio são diferentes. Mas como se pode afirmar isto? Compare os comprimentos dos segmentos de elipse AB e CD, se eles foram percorridos dentro de um mesmo intervalo de tempo, o mais extenso exige uma maior velocidade.

Como a trajetória do planeta ao redor da estrela não é circular, é de se esperar que sua velocidade varie de acordo com o tempo. Sendo a maior possível no perigeu e a menor possível no apogeu. Isto, porém, não afeta o tempo necessário para se completar meia volta, já que podemos dividir a elipse em duas metades pelo eixo maior. Sendo assim, o tempo de ida do perigeu para o apogeu é o mesmo de volta do apogeu para o perigeu.

3ª Lei de Kepler: Lei dos Períodos.

"Os quadrados dos períodos de translação dos planetas ao redor do sol são proporcionais aos cubos dos semi-eixos maiores de suas órbitas"

3ª Lei de Kepler.

Esta é uma das mais belas sacadas que um matemático daquele período teve. Muito provavelmente, por saber reconhecer padrões e saber de cabeça quadrados e cubos de números naturais, ele dividiu todas os semi-eixos pelo da terra, que é chamado de unidade astronômica (UA), para obter valores mais "fáceis" de se trabalhar, comparou eles e notou o padrão. A tabela abaixo então foi montada:

Tabela retirada deste link.

Como Kepler foi "apenas" matemático e antecessor de Newton, não soube explicar o motivo dos planetas se comportarem assim, apenas reconheceu os padrões e os traduziu em termos de leis matemáticas.

Atividades para ficar e refletir:

1) Chamamos de excentricidade de uma elipse a razão entre a distância focal e o raio maior da elipse, como mostra a figura abaixo.

Considere os seguintes dados aproximados:

periélio da terra = 147,1 milhões de quilômetros;

afélio da terra = 152, 1 milhões de quilômetros;

periélio de mercúrio = 46 milhões de quilômetros;

afélio da mercúrio = 69,8 milhões de quilômetros.

Calcule as excentricidades das elipses descritas pelos planetas terra e mercúrio ao redor do sol.

2) Se você tentar aplicar a 3ª lei de Kepler à nossa lua, qual resultado encontrará? Ela estará de acordo com os planetas?

Raio maior da órbita lunar: 0,0027 UA

Período orbital lunar: 0,074802 anos

3) As leis de Kepler explicam de alguma forma a sincronizada alternância das estações do ano terrestre?

Este tópico termina aqui, alguma dúvida? Comenta aí... até a próxima.