Momento angular.

 Olá... começo mais um tópico intimamente relacionado com outro (link) apresentado antes dele. Creio que você já viu o nome desta postagem. E ele é justamente a resposta para a seguinte pergunta: o que têm em comum o sistema terra-lua, um spinner, um pião, um monociclo e uma patinadora rodopiando?

Você já deve saber que corpos dotados de massa e em movimento em relação a algum referencial possuem momento linear ou quantidade de movimento. A partir de agora o conceito de momento angular será acrescentado para corpos realizando algum movimento de rotação (link).

Semelhante ao momento linear, o momento angular também é uma grandeza vetorial, ou seja, possui módulo, direção e sentido. De maneira diferente do momento linear, o momento angular é fruto de um produto vetorial (link) entre os vetores velocidade e posição do corpo em movimento.

"Mas como assim posição?"

Todo corpo em movimento circular descreve uma trajetória em forma de circunferência, ou parte dela, com relação a um ponto chamado centro. A orientação vetorial entre as coordenadas do corpo e o centro de rotação é chamada de vetor posição.

Relação matemática entre os vetores e os módulos dos vetores.

Note que os vetores posição e velocidade estão no mesmo plano da circunferência. O vetor momento angular é perpendicular a esta circunferência e está aplicado ao centro dela. O momento angular é um pouco mais difícil de se perceber diretamente, mas sua conservação é muito fácil de notar. Principalmente em sistemas não constituídos de partículas isoladas.

Esclarecendo para você, as fórmulas acima apresentadas se aplicam a uma partícula dotada de massa "m" descrevendo uma trajetória circular de raio "r" com velocidade constante de módulo "v". O vetor momento angular (L) é obtido pelo produto vetorial entre v e r ou seu módulo é calculado pelos módulos de v, r, m e pelo seno do ângulo Ө entre eles.

Como um corpo é um sistema constituído de muitas partículas, não há como calcular o momento angular para cada uma delas, mas pode-se calcular a forma como elas se distribuem em torno do eixo de rotação. Esta distribuição em torno do eixo de rotação é chamado de momento de inércia.

Momento de inércia de uma patinadora em duas circunstâncias diferentes: braços abertos ou afastados do tronco (esquerda) e braços juntos ao tórax (direita). Imagem retirada de "Experimental 2" (link).

Note que o momento de inércia de um corpo pode variar facilmente conforme este corpo altera a distribuição de suas partes ao redor do eixo de rotação. A patinadora de braços abertos tem maior momento de inércia nesta situação quando comparada à de braços juntos ao tórax.

"Então o momento de inércia só vale para corpos constituídos de muitas partículas?"

Não, podemos aplicar no caso abaixo como se fossem duas partículas:

Corpos distantes entre si podem ser tratados como partículas. Imagem retirada de "Astrofurg" (link).

Se desconsiderarmos a massa das hastes responsáveis por prender os dois corpos cilíndricos, eles se comportarão de forma semelhante a duas partículas em movimentos circulares. À medida que se afastam do eixo de rotação, o momento de inércia do sistema formado por elas aumenta. E como calculamos esse momento de inércia? Para uma partícula é razoavelmente simples:

I = mr²

Onde I é o momento de inércia, m é a massa da partícula e r é a distância dela ao eixo de rotação. Para corpos como esferas, bastões, cilindros, discos, anéis, placas e etc... depende das medidas do corpo e da posição do eixo de rotação.

Antes de avançarmos para a conservação do momento angular, observe a seguinte relação:

v/r = ω

Onde v é a velocidade da partícula, r é a distância dela ao eixo de rotação e ω é a velocidade angular dela. Conseguimos relacionar o momento angular de uma partícula com seu momento de inércia e sua velocidade angular. Se considerarmos uma partícula em movimento circular, a velocidade é perpendicular ao raio. Logo o seno é igual a um, daí temos que:

L = mrv

L = mr²v/r

L = Iω

Ou seja, podemos calcular o momento angular de uma partícula ou corpo em rotação se soubermos seus respectivos momento de inércia e velocidade angular. Aplicando então a conservação de momento angular a esta relação, podemos prever que um corpo girará mais devagar se aumentar seu momento de inércia ou girará mais rápido se diminuí-lo.

Homem sentado sobre um banco giratório com pesos em seus punhos.

Se o momento angular tem de conservar, a pessoa da imagem acima diminuirá sua velocidade angular ao abrir os braços. Por outro lado, se concentrar os pesos em seus punhos junto ao tórax, aumentará sua velocidade angular. É por este princípio que bailarinas, ginastas e patinadoras se "encolhem" antes de realizar movimentos de rotação, como o duplo twist carpado.

Daiane dos Santos realizando o duplo twist carpado.

Se fosse possível observarmos quadro a quadro o movimento de uma ginasta antes de ela realizar um salto mortal duplo, seria algo como na imagem abaixo:

Salto mortal duplo.

E como funciona para o sistema formado pela terra e pela lua? Bom, para te responder, eu preciso apresentar uma "novidade": não é a terra que orbita o sol, é o centro de massa do sistema formado pela terra e lua.

Sistema terra-lua: o centro de massa se localiza dentro da terra, mas a uma distância do centro equivalente a 75% do raio terrestre.

E o que isto tem a haver com o momento angular? Outra "novidade": a lua e a terra giram em torno deste centro de massa enquanto este centro de massa orbita o centro de massa do sistema solar, que também não fica no centro do sol.

Voltando ao sistema terra-lua, ele está sujeito a uma conservação do momento angular, que é constituído da rotação da terra. De uma forma simplificada, sabemos que a velocidade angular da terra está diminuindo, ou seja, os dias estão ficando mais longos. Mas fique tranquilo, nenhum de nós viverá para ter um dia de 25 horas. Para conservar estre prolongamento do dia, a lua se afasta ligeiramente. Isto seguirá indefinidamente até ela se perder no sistema solar.

Outra situação na qual observamos a conservação do momento angular é na precessão do eixo de rotação terrestre. Sim... chama precessão aquele movimento do pião de "sampar" enquanto rodopia.

Precessão do eixo de rotação terrestre. Imagem retirada de "Jonah's Out of this World Astronomy Blog" (link).

Sabemos que este movimento ocorre pelas observações e registros delas ao longo dos últimos dois mil e quinhentos anos. A estrela, ou ponto no céu, em torno do qual as demais parecem girar no céu mudou com o tempo.

Fotografia de longa (300 segundos) exposição dos céus do interior de MG. Trabalho de um colega de profissão que gentilmente me cedeu esta imagem.

Se você ficou com a impressão de que as estrelas estão girando em torno de um ponto comum, não se assuste, é a rotação da terra. Se não houvesse a precessão, seria a mesma fotografia no mesmo dia do ano sempre. Com quase dois séculos de diferença os gregos perceberam a diferença nos registros e calcularam o intervalo de tempo para uma precessão completa. Note apenas que esta imagem é ilustrativa para a ideia, os gregos não observaram o polo sul celeste.

Em situações mais mundanas, podemos ver a conservação do momento angular atuando em rodas de bicicletas e causando precessão. Veja o vídeo abaixo do canal "Física Universitária":

Nele vemos a roda se "equilibrar" de um lado apenas e outro movimento de rotação em torno do ponto de apoio surge para conservar o momento angular do sistema. Do mesmo canal tem aqui outro vídeo com a conservação do comento angular:

E isto encerra o tópico sobre momento angular. Restou abordar o momento angular aplicado aos elétrons orbitando o núcleo atômico, mas isto veremos em química. Ficou alguma dúvida ou tem alguma crítica construtiva ou sugestão? Comenta aí... até a próxima.