Produtos escalar e vetorial, parte 2.

Apresentei em postagens anteriores o conceito de vetor (link), suas características, a notação de vetor em três dimensões, as somas de vetores e os produtos de vetores (link), seja por módulo ou no aspecto gráfico. Esta terceira e última postagem do tema abordará os produtos e escalar e vetorial de acordo com a notação cartesiana.

Considere os vetores A e B acima apresentados. Eles serão exemplos para dois casos de produtos estudados a partir de agora.

Produto escalar.

Representamos por A•B um produto escalar entre dois vetores. De tal modo que aplicaremos a propriedade distributiva:

Após a aplicação da propriedade distributiva, note que nove produtos são formados com todas as combinações de vetores unitários possíveis. Lembrando que vetor unitário é aquela letra x, y ou z com a seta em cima, ele indica sobre qual eixo a componente do vetor está. E é nesta parte que o produto escalar faz a diferença, pois ele depende do cosseno do ângulo entre os vetores. Como cos0° é igual a um e cos90° é igual a zero, vetores unitários iguais dão origem a um escalar e vetores diferentes se anulam em produto escalar. Por isso sobram apenas três termos na soma.

Produto Vetorial.

Representamos por AXB o produto vetorial entre dois vetores. Poderíamos aplicar aqui também a regra distributiva. Mas considero necessário lembrar que o produto vetorial depende do seno do ângulo entre os dois vetores. Dessa maneira, o produto dos diferentes resultará em um novo vetor e o dos iguais será nulo. Antes ainda há outro detalhe, AXB é diferente de BXA, pois resultam em vetores de módulos e direções idênticos, mas de sentidos opostos. Veja as contas:

Torna-se um processo enjoado e uma decoreba desnecessária ter de lembrar as seguintes relações de produto vetorial.

Para não sermos obrigados a decorar esta relação, existe outro caminho, mas que envolve uma matriz 3x3 e o determinante dela é o produto vetorial em notação cartesiana.

Resolvemos ela seguindo método de Sarrus (leia Sarrí), por exemplo:

No método de Sarrus, acrescentamos duas colunas extras reproduzindo a primeira e a segunda colunas à direita da terceira. O determinante é calculado somando os produtos dos elementos das três diagonais principais (vermelho) e subtraindo os produtos dos elementos das três diagonais secundárias (verde). Teremos então:

O resultado é o mesmo pelos dois caminhos, como é de se esperar nestas situações, cabe a você decidir qual seguir. Este conteúdo te ajudou? Ficou alguma dúvida? Comenta aí. Até a próxima.