Os cálculos de Bohr para seu modelo atômico.

Reproduzirei aqui os postulados do modelo atômico de Bohr já apresentados anteriormente em outra postagem (link). Existem consequências matemáticas das afirmações presentes nos dois primeiros postulados que preferi deixar de fora na primeira oportunidade. Vamos a elas:

1º Postulado: Um elétron em um átomo se move em uma órbita circular em torno do núcleo sob influência da atração coulombiana entre elétron e núcleo, obedecendo às leis da mecânica clássica.

Apenas disse que força de atração do núcleo pelo elétron atua como força centrípeta mantendo a órbita circular. Semelhante ao sol atraindo a terra ou a terra atraindo a lua. A diferença é que, nestes casos, as forças são gravitacionais.

FE = FC

2º Postulado: Em vez de uma infinidade de órbitas possíveis segundo a mecânica clássica, um elétron só pode se mover em órbitas específicas nas quais seu momento angular orbital seja um múltiplo inteiro de ħ (a constante de Planck dividida pelo dobro de pi).

Aqui ele fez uso de uma linguagem bem difícil pra te dizer que o elétron não pode ficar de bobeira entre duas órbitas quaisquer. De forma semelhante como não se tem hoje um planeta entre a Terra e Marte. E se um for colocado lá, nosso sistema solar ficará doidão e algum planeta será "sinucado".

L = nħ, com n = 1,2,3,...

O ħ é a constante de Planck "h" dividida por 2𝝅. Algo tão comum que preferiram alterar a constante para facilitar a vida não hora de redigir textos científicos. Hoje com o computador é fácil, cem anos atrás, com máquinas de escrever, devia ser um pesadelo.

3º Postulado: Apesar de estar constantemente acelerado, um elétron que se move em uma dessas órbitas possíveis não emite radiação eletromagnética (luz). Portanto sua energia total permanece constante.

Partículas dotadas de carga elétrica, quando "aceleradas", tendem a perder energia. Se isto ocorresse com o elétron ele cairia dentro do núcleo rapidamente e as propriedades dos átomos mudariam drasticamente. Bohr não soube explicar isto, então postulou como uma verdade.

4º Postulado: É emitida radiação eletromagnética se um elétron, que se move inicialmente sobre uma órbita de energia total Ei, muda seu movimento descontinuamente de forma a se mover em uma órbita de energia total Ef. A frequência da radiação (luz) emitida é igual à quantidade de energia (Ei-Ef) dividida pela constante de Planck.

É uma interpretação do trabalho de Planck, no qual toda energia se associa a uma frequência de luz. Mas o que veremos abaixo é que, para um átomo, nem toda energia será usada. E esta é beleza, na minha opinião, do trabalho de Bohr.

O raio do átomo de hidrogênio:

Da força de natureza elétrica de atração entre o núcleo e o elétron atuando como força centrípeta, temos a seguinte relação:

Onde m é a massa do elétron, e é a carga dele em módulo, v é sua velocidade orbital, ε₀ é a constante de permissividade elétrica do vácuo e Z é o número atômico. Para o hidrogênio ele vale 1, mas para as espécies hidrogenóides ele será útil.

Você já sabe da postagem de momento angular (link) que podemos calcular o momento angular para uma partícula em movimento circular. Desde que saibamos sua massa, sua velocidade e o raio de sua trajetória. Bohr estabeleceu que o elétron não poderia ter qualquer momento angular, o que implica em não ter qualquer órbita. É como se não pudesse existir, de forma alguma, um planeta entre marte e júpiter. A consequência matemática disto é:

Isolando a velocidade nesta última para substituir na anterior, teremos o raio em função das seguintes varáveis:

Observe que, sem o trabalho de Millikan, Bohr não teria calculado o raio para o átomo de hidrogênio, que vale 5,3x10⁻¹¹ metro, ou 0,53 Å. Para o cátion monovalente de hélio, a metade disto, para o cátion bivalente de lítio, a terça parte disto, e assim por diante.

A velocidade do elétron do átomo de hidrogênio:

Usando esta última expressão e inserindo ela na relação do momento angular, determinamos a velocidade do elétron para cada valor de n:

Como é de se esperar, a velocidade do elétron aumenta à medida que o número atômico (Z) cresce e diminui à medida que a órbita (n) se torna mais afastada do núcleo, mas não com o quadrado, como acontece com o raio. Para o elétron do átomo de hidrogênio o valor calculado é cerca de 2,2x10⁶ m/s, que é menos de 1 % da velocidade da luz, dispensando tratamento relativístico. Para números atômicos maiores, haverá esta necessidade. Para o elétron do cátion He⁺ a velocidade do elétron é de 4,4x10⁶ m/s, cerca de 1,5 % da velocidade da luz. Um elétron excitado que ocupe a segunda órbita (n = 2) do cátion monovalente de hélio terá a mesma velocidade que um elétron na primeira órbita do átomo de hidrogênio.

A energia do elétron do átomo de hidrogênio:

A energia de uma partícula é determinada pela soma de todas as suas energias possíveis. Usando a física clássica, chamamos isto de energia mecânica. No caso do elétron do átomo de hidrogênio, temos o seguinte:

Como a velocidade depende do raio, a energia é uma função apenas do raio. Mas como também sabemos o expressão do raio para cada camada eletrônica do átomo de hidrogênio, temos o seguinte:

Esta é a energia de um elétron do átomo de hidrogênio para cada camada. O valor negativo, caso você tenha observado, é apenas uma convenção. Quando o elétron escapa do átomo, sua energia é máxima e vale zero. Qualquer valor quando ele se encontra dentro da eletrosfera deve ser negativo. Mania de físico quando trabalha com energia potencial, seja ela elétrica ou gravitacional.

Se substituirmos todos os valores dessas constantes, a energia do elétron quando este se encontra na camada K do átomo de hidrogênio é -13,6 eV (leia elétron-volt), onde "e" é a carga elétrica do elétron calculada por Millikan (link). Algo que faria a energia ter um valor muito pequeno, por isto usamos esta unidade. 

Você pode se perguntar agora sobre a relação disto tudo com as linhas espectrais. Lembra que o o elétron ganhará ou perderá a energia correspondente à diferença de energia entre duas camadas quaisquer? Pois é, basta calcularmos a diferença de energia para um n₁ e outro n₂, ou nf e ni. A frequência da luz emitida pelo elétron quanto este retorna à sua camada de origem é:

Sabemos que a velocidade de uma onda é o produto de seu comprimento de onda "𝝀" pela sua frequência "f". Se a onda é a luz, tratamos por "c" sua velocidade. Então o inverso do comprimento de onda é escrito da seguinte forma:

Novamente você pode se perguntar o motivo de modificar toda a expressão para se adaptar ao inverso do comprimento de onda. É para encontrarmos a expressão de Rydberg (link)... hehehe.

Bohr fez algo monstruoso... conseguiu, a partir de argumentos clássicos e quânticos, encontrar a constante calculada por Rydberg décadas antes em função de constantes da natureza, como a carga elétrica do elétron, a velocidade da luz, a constante de Planck e a constante de permissividade elétrica do vácuo. Alguma dúvida de que bateu exatamente?

Em resumo, a conquista do modelo de Bohr foi justamente explicar a natureza microscópica da matéria em termos de fenômenos e informações conhecidos dos últimos cem anos. No caso a estrutura da eletrosfera, como os elétrons se organizam dentro dela e se comportam em fenômenos de troca de energia como testes de chamas, fogos de artifício. Permitindo assim, por exemplo, a interpretação dos espectros emitidos por estrelas diversas e a identificação de elementos ou espécies iônicas pouco comuns em condições de laboratório.

Ficou alguma dúvida? Aposto que sim. Comenta aí... até a próxima.