Vetores.

Sendo bem direto, vetores são entidades que possuem módulo, direção e sentido. Nós as usamos para representar grandezas, relações matemáticas ou operações entres essas grandezas desde que elas sejam grandezas vetoriais, ou seja, desde que tenham módulo, direção e sentido.

Uma grandeza que não é vetorial terá apenas módulo e será chamada de grandeza escalar. Massa, tempo, energia, carga elétrica, potencial elétrico, potencial gravitacional, temperatura e distância percorrida são exemplos de grandezas escalares.

Temperatura, tempo, massa e carga elétrica, exemplos de grandezas escalares.

Não faz sentido perguntar se a temperatura é de 30°C para cima ou para baixo. Ou se são 15 horas no horário de Brasília indo desta para Belém ou no sentido contrário da rodovia. A sua massa será a mesma esteja você em repouso ou não dentro de um elevador também em repouso em relação ao solo. Mesmo que a balança indique massas diferentes em caso de movimento acelerado do elevador, ela o faz por medir a força que você faz sobre ela, não a massa diretamente. Em outras palavras, você não mede sua massa numa balança, mede seu peso, mas estes "serão a mesma coisa" caso a balança esteja em repouso em relação a um referencial fixo no solo.

Um vetor será representado por uma letra, assim como uma grandeza escalar, mas terá uma seta em cima dela para sabermos que se de um vetor. São exemplos de grandezas vetoriais o deslocamento, a velocidade, a aceleração, a força, o momento linear (quantidade de movimento), o momento angular, o campo elétrico e o campo magnético.

A força elástica em uma mola, os campos elétrico e magnético, o momento angular de um pião girando e as forças peso atuantes sobre uma pena e uma bola de boliche, são todos exemplos de grandezas vetoriais.

E quanto às propriedades dos vetores? Vamos a elas:

Módulo de um vetor: é a intensidade ou valor da grandeza. Se falamos de velocidade, o módulo dela pode ser 10 m/s (leia metros por segundo) ou 50 km/h (leia quilômetros por hora). Se for aceleração, seu módulo pode ser 10 m/s² (leia metros por segundo ao quadrado ou metros por segundo a cada segundo) ou 0,08 m/s². Se for uma força, 40 N (leia q Newtons) ou 5 kgf (leia quilogramas força).

Direção de um vetor: é literalmente a reta dentro de um plano (duas dimensões ou espaço (três dimensões) sobre a qual a grandeza vetorial está orientada. Por exemplo, se falamos de um plano cartesiano, horizontal é uma direção dentro do eixo das abcissas (o eixo "x"). Se falamos de direção vertical, trata-se do eixo das ordenadas (o eixo "y"), que forma um ângulo reto (90°) com a horizontal. Ou pode ser sobre uma reta inclinada em um ângulo de 30° com a horizontal. veja a imagem abaixo:

Sentido de um vetor: é uma das duas orientações possíveis dentro de uma reta. Se horizontal, tem para direita (sentido positivo do eixo das abcissas) ou para esquerda (sentido negativo do eixo das abcissas). Se vertical, tem para cima (sentido positivo do eixo das ordenadas) ou para baixo (sentido negativo do eixo das ordenadas). Se 30° com a horizontal, mesma ideia, mas pode-se representar por 210°, que significa a mesma reta, mas o ângulo a toca no terceiro quadrante, veja a figura abaixo:

Você deve notar que vetores podem ter seus módulos somados, subtraídos, multiplicados ou divididos, além de outras operações matemáticas. A operação a se aplicar dependerá de como os vetores se apresentam. Vamos aos casos:

Vetores de mesma direção e mesmo sentido:

Vetores de mesma direção e mesmo sentido.

Considere os vetores a e b acima apresentados. Eles estão sobre as retas "r" e "s", horizontais e paralelas. Dizemos que a e b são vetores de mesma direção se suas retas forem paralelas e de mesmo sentido se suas setas apontarem para o mesmo "lado", melhor dizer sentido mesmo.

Como proceder se inserirmos a e b na mesma reta? Veja a imagem abaixo:

Soma vetorial de dois vetores de mesma direção e  mesmo sentido.

Como se pode ver pela imagem acima, a soma de dois vetores de mesma direção e mesmo sentido nos leva à soma de seus módulos. Também é necessário observar que o vetor resultante da soma possui mesma direção e mesmo sentido que a e b. Isto independe da natureza do vetor, seja força, aceleração, velocidade ou deslocamento.

Se você arremessa uma bola de dentro de um ônibus em movimento e a velocidade da bola tem mesma direção e sentido da velocidade do ônibus. A bola terá uma velocidade, em relação ao referencial fixo no solo, igual a soma de das velocidades do seu seu arremesso e do veículo. 

Se você pede ajuda a alguém para fazer um carro pegar no tranco, é de se esperar que os dois empurrem na mesma direção e sentido, para que suas forças se somem, se desejam tirar o carro do repouso. Sem contar que descer um plano inclinado ajuda demais.

Vetores de mesma direção e sentidos opostos.

Vetores de mesma direção e sentidos opostos.

Considere os vetores a e b acima apresentados. Eles estão sobre as retas "r" e "s", horizontais e paralelas. Dizemos que a e b são vetores de mesma direção se suas retas forem paralelas e de sentidos opostos se suas setas apontarem para "lados" diferentes, ou sentidos opostos.

Como proceder se inserirmos a e b na mesma reta? Veja a imagem abaixo:

Soma vetorial de dois vetores de mesma direção e  mesmo sentido.

Se os dois vetores a e b são posicionados de modo que b comece onde a termina, teremos uma noção de quem tem maior módulo pelo comprimento de sua seta. Neste caso, o vetor resultante desta soma (toda subtração é também uma soma) terá a mesma direção e sentido que o vetor de maior módulo entre os dois envolvidos. Sendo o módulo do vetor resultante a diferença entre os módulos de a e b.

Cooperação é a melhor resposta nesta situação de "soma de vetores".

Talvez você já tenha visto uma imagem de dois burrinhos disputando quem come primeiro antes de perceberem que é melhor cooperar ao invés de disputar. Os três primeiros quadrinhos retratam bem esta situação quando os vetores a e b possuem mesmo módulo e a resultante é zero.

Vetores perpendiculares entre si.

Caso de vetores perpendiculares.

E se os vetores envolvidos na soma pertencerem a retas perpendiculares entre si. Então faremos uma operação que nem é a soma dos módulo ou a subtração dos módulos. Veja a imagem abaixo:

Soma de vetores perpendiculares.

Sempre posicionamos o início de um vetor sobre o final de outro, então conectamos o início do primeiro ao final do último para o obter o vetor resultante. Esta operação geométrica vem de uma regra conhecida por regra do paralelogramo. Neste caso, com dois vetores apenas e perpendiculares, eles forma um triângulo retângulo, onde o vetor resultante é a hipotenusa e a e b são os catetos. Dessa forma, aplicamos a relação de Pitágoras entre os módulos de a e b para encontrar o módulo do vetor resultante:

R² = a² + b²

Se você está na porta de uma sala e ela possui azulejos quadrados, experimente andar quatro azulejos para a direita, se possível, e outros três azulejos na direção perpendicular à primeira. Verás que se deslocaste uma distância equivalente a cinco azulejos na diagonal.

Deslocamento resultante (verde) a partir de dois deslocamentos perpendiculares (vermelho e azul) entre si.

E quanto ao ângulo Ө entre o vetor resultante e a horizontal. Bom, este ângulo é fundamental para determinar a direção do vetor resultante e a tangente dele é calculada pela razão entre o cateto oposto (a) e o adjacente (b).

tgӨ = a/b

Outros casos de soma de vetores.

Você já sabe o como proceder quando os vetores formam um ângulo de:

一 zero, vetores de mesma direção e mesmo sentido;

一 90°, vetores perpendiculares entre si;

一 180°, vetores de mesma direção e sentidos opostos.

E quando o ângulo entre eles é diferente dos casos acima, então temos a lei dos cossenos:

R² = a² + b² + 2abcos𝝰

Onde 𝛂 é o ângulo entre os vetores a e b. Note que se:

一 𝛂 = 0 ⇒ cos0° = 1 ⇒ R² = a² + 2ab + b² ⇒ R² = (a + b)² ⇒ R = a + b, é o primeiro caso apresentado;

一 𝛂 = 90° ⇒ cos90° = 0 ⇒ R² = a² + b², é o terceiro;

一 𝛂 = 180° ⇒ cos180° = -1 ⇒ R² = a² - 2ab + b² ⇒ R² = (a - b)² ⇒ R = a - b, é o segundo caso.

Isto mostra que tudo se resume à lei dos cossenos, mas como? Veja a imagem a seguir:

Regra do paralelogramo e sua relação com a lei dos cossenos.

Se completamos o vetor a com um vetor b e o vetor b com um vetor a, temos um quadrilátero chamado paralelogramo, onde seus lados e ângulos internos são iguais dois a dois. Observe que o retângulo é um caso particular do paralelogramo, mas com ângulos internos retos. A lei dos cossenos relaciona o comprimento de um lado do triângulo a seu ângulo oposto e os lados que o formam.

Neste caso, deveríamos usar o ângulo β para obter o comprimento vermelho do vetor resultante da soma de a com b. Mas temos que 𝛂 e β são suplementares, ou seja, sua soma é sempre 180°. E ângulos suplementares possuem o mesmo cosseno em módulo, trocando apenas o sinal. Por isto temos uma lei dos cossenos para vetores e outra ligeiramente diferente para os triângulos:

R² = a² + b² - 2abcosβ

Este foi um resumo introdutório sobre vetores, ainda existem operações como produto escalar (E = abcos𝛂) e produto vetorial (V = absen𝛂) que dependem de vetores a, b e do ângulo 𝛂 entre eles. Mas pretendo aprofundar em outro momento. Sugiro que você faça exercícios a respeito do assunto.

Faça uma pesquisa no google por "exercícios sobre soma de vetores pdf" e divirta-se. Qualquer dúvida, comenta aí. Até a próxima.