Lei da gravitação universal.

Até o século XVI as pessoas responsáveis por estudar a natureza tinham entre si o consenso de que os cometas eram fenômenos atmosféricos. Pois elas tinham a ideia de que o céu é imutável, e passagens aleatórias de cometas alterariam esta ideia. Aliás, a palavra cometa vem de "kométes", algo parecido com estrela cabeluda no grego antigo. Os responsáveis ppr se questionar esta ideia de fenômeno meteorológico foram Tycho Brahe e Michael Maestlin, por ocasião da passagem do grande cometa de 1577, um não periódico, ou seja, que passou e não volta mais.

Grande cometa de 12 de novembro de 1577, vista de Praga. Gravura de Jiri Daschitzky.

Momento angular.

 Olá... começo mais um tópico intimamente relacionado com outro (link) apresentado antes dele. Creio que você já viu o nome desta postagem. E ele é justamente a resposta para a seguinte pergunta: o que têm em comum o sistema terra-lua, um spinner, um pião, um monociclo e uma patinadora rodopiando?

Você já deve saber que corpos dotados de massa e em movimento em relação a algum referencial possuem momento linear ou quantidade de movimento. A partir de agora o conceito de momento angular será acrescentado para corpos realizando algum movimento de rotação (link).

Momento linear ou quantidade de movimento.

Antes de falar sobre o tema desta postagem, eu te convido a observar a imagem abaixo com a capa do livro de física com o qual eu estudei no ensino médio entre 1995 e 1997.

Observei por meses sem saber qual era o objeto nesta capa, achava estranho e muito menos entedia a relação dele com a mecânica, área da física à qual este volume é dedicado. Você faz ideia do que se trata? Se tiver uma ideia, comenta aí. Se não, acompanhe a postagem até o fim e lá eu revelo do que se trata.

Produtos escalar e vetorial, parte 2.

Apresentei em postagens anteriores o conceito de vetor (link), suas características, a notação de vetor em três dimensões, as somas de vetores e os produtos de vetores (link), seja por módulo ou no aspecto gráfico. Esta terceira e última postagem do tema abordará os produtos e escalar e vetorial de acordo com a notação cartesiana.

Considere os vetores A e B acima apresentados. Eles serão exemplos para dois casos de produtos estudados a partir de agora.

Produto escalar.

Representamos por A•B um produto escalar entre dois vetores. De tal modo que aplicaremos a propriedade distributiva:

Após a aplicação da propriedade distributiva, note que nove produtos são formados com todas as combinações de vetores unitários possíveis. Lembrando que vetor unitário é aquela letra x, y ou z com a seta em cima, ele indica sobre qual eixo a componente do vetor está. E é nesta parte que o produto escalar faz a diferença, pois ele depende do cosseno do ângulo entre os vetores. Como cos0° é igual a um e cos90° é igual a zero, vetores unitários iguais dão origem a um escalar e vetores diferentes se anulam em produto escalar. Por isso sobram apenas três termos na soma.

Produtos escalar e vetorial, parte 1.

Existem outras operações entre vetores além da soma (link), duas dessas operações são chamadas de produto escalar e produto vetorial. Como seus próprios nomes sugerem, eles dão origem a um escalar e a um vetor, respectivamente. Identificá-los será de grande ajuda para você reconhecer quando estará diante de uma grandeza escalar ou vetorial, caso ela seja desconhecida no momento. Eu abordarei esses produtos de duas formas diferentes, uma envolvendo o módulo e outra envolvendo as componentes vetoriais.

Produto Escalar (E) por módulo.

É o produto que tem como resultado um escalar. Considere dois vetores a e b, o produto escalar deles dependerá de seus módulos e do cosseno do ângulo 𝛂 (alfa) entre eles:

E = |a||b|cos𝛂

Onde |a| e |b| são os módulos dos vetores a e b. Note que esta operação só funciona com vetores que possuem módulos constantes. Caso sejam variáveis seus módulos, o cálculo dependerá de outros fatores. No caso de o ângulo ser constante, a área do gráfico entre as duas grandezas vetoriais a e b nos dará o produto escalar entre elas. É o que acontece quando calculamos o trabalho realizado por uma força (F) quando esta causa o deslocamento (Δx) de um corpo sobre um plano horizontal.

O trabalho (W) da força (F) no caso da imagem acima depende do ângulo entre ela e o deslocamento (Δx) do corpo e do próprio deslocamento.

W = |F||Δx|cos𝛂

Vetores.

Sendo bem direto, vetores são entidades que possuem módulo, direção e sentido. Nós as usamos para representar grandezas, relações matemáticas ou operações entres essas grandezas desde que elas sejam grandezas vetoriais, ou seja, desde que tenham módulo, direção e sentido.

Uma grandeza que não é vetorial terá apenas módulo e será chamada de grandeza escalar. Massa, tempo, energia, carga elétrica, potencial elétrico, potencial gravitacional, temperatura e distância percorrida são exemplos de grandezas escalares.

Temperatura, tempo, massa e carga elétrica, exemplos de grandezas escalares.

Leis de Kepler.

Kepler foi um alemão protestante que viveu na Europa em um período (1571 a 1630) de perrengues constantes entre católicos e protestantes. Isto o fez se mudar com a família em mais de uma oportunidade em busca de um lugar onde pudesse trabalhar em paz.

Johannes Kepler e um planeta batizado em sua homenagem.

Kepler foi um excelente astrônomo e matemático, mas péssimo professor. Parecia não se importar com isto e se dedicou a solucionar certos enigmas da natureza, como ajustar uma hipotética relação entre as medidas dos poliedros platônicos e os raios das trajetórias dos planetas de nosso sistema solar. Como a figura abaixo mostra:

Mysterium Cosmographicum

Leis de Newton: A Terceira Lei.

Terceira lei de Newton:

"A toda ação há sempre uma reação oposta e de igual intensidade: as ações mútuas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e dirigidas em sentidos opostos."

Esta é outra daquelas partes do conteúdo na qual o professor fala, fala, fala, mostra exemplos, faz um desenho, conta uma piada e o aluno pouco se toca do real significado. Muito disso acontece por se tratar de algo abstrato, apesar de vivenciarmos esta lei diariamente.

A terceira lei de Newton é fundamental para a melhor compreensão e resolução de exercícios e situações corriqueiras. Pois bem, sua definição foi apresentada, a partir de agora exemplificarmos nas mais diversas situações mundanas que eu lembrar.

Leis de Newton: A Segunda Lei.

Segunda lei de Newton:

"A mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida, e é produzida na direção de linha reta na qual aquela força é aplicada".

Está aí a relação matemática que considero a mais traiçoeira entre todas as estudadas a nível de ensino médio. A segunda lei de Newton diz respeito sobre a proporção entre uma força resultante e a aceleração por ela produzida no corpo. Em módulo:

F = ma

Em termos vetoriais, dizemos que o vetor força resultante é de mesma direção e sentido que o vetor aceleração por ele produzido sobre uma determinada massa. E como isto pode enganar alguém? Se basta ter dois deles para efetuar a operação matemática e então achar o terceiro...

Aí é que está, existem casos e casos, os mais variados que puderes imaginar. Casos nos quais a força resultante sobre um corpo ou um conjunto de corpos será diferente em cada um deles. Fazendo com que a segunda lei se desdobre em inúmeras outras relações entre vetores. E o que é um vetor? Bem, vetor é uma grandeza com módulo, direção e sentido. E o que são módulo, direção e sentido? Voce encontrará mais detalhes neste link. Vamos agora a algumas representações:

Situação 1:

Na imagem acima temos o caso de um corpo se deslocando horizontalmente para a direita sobre uma superfície sem atrito e sem resistência do ar. Desconsidero esses dois detalhes pelo fato de eles representarem outras duas forças atuantes. Sobre esse corpo, apenas uma força atua, igualmente horizontal para a direita. Uma aceleração de módulo "a" surgirá de acordo com os valores da massa e do módulo da força "F". Ali existem setas sobre as letras para mostrar que se trata de grandezas vetoriais.

Analisando a imagem aos olhos da segunda lei temos que:

¬ quanto maior for a massa do corpo, para um força resultante  de módulo constante, menor será o módulo da aceleração, pois a massa e aceleração são inversamente proporcionais;

Exemplo: se empurramos horizontalmente para a direita com um força de 50 N dois corpos A e B de massas 5 Kg e 10 Kg as acelerações por eles adquiridas serão 10 m/s² e 5 m/s², , respectivamente.

¬ quanto maior for o módulo a força resultante exercida, para corpos de massas iguais, maior será o módulo da aceleração adquirida, pois aceleração e força são diretamente proporcionais.

Exemplo: se empurrarmos, horizontalmente para a direita, um mesmo corpo de massa 5 Kg, com forças de módulos 10 N e 5 N, as acelerações adquiridas serão, respectivamente, iguais a 2 m/s² e 1 m/s².

Situação 2:

Com duas forças horizontais de módulos 40 N e 10 N em sentidos opostos, é como se tivéssemos apenas uma força de 30 N atuando na horizontal para a direita, pois subtraímos seus módulos. Se a massa do corpo é de 5 kg, a aceleração dele é de 6 m/s².

Situação 3:

Agora temos duas forças horizontais voltadas para a direita, seus módulos são somados. É como se apenas uma força de módulo 50 N atuasse sobre o corpo de 5 kg. A aceleração adquirida pelo corpo é de 10 m/s².

Situação 4:

Nesta situação temos uma vista superior de um corpo idêntico ao dos casos anteriores, mas que pode se deslocar livremente sobre um plano horizontal. Sobre ele duas forças perpendiculares atuam com módulos de 40 N e 30 N. A força resultante terá um módulo diferente da soma e da subtração dos módulos das outras duas. Sua direção será de acordo com aquele ângulo 𝝧 (leia "téta") indicado. E como calcular o módulo da força resultante F? Simples, teorema de Pitágoras:

F² = 30² + 40²

F² = 900 + 1600

F² = 2500

F = 50 N

Se a força F vale 50 N, como saber sua direção? Simples também, aplicamos trigonometria de triângulo retângulo. Onde o cateto oposto ao ângulo 𝝧 é equivalente à força de 40 N, o cateto oposto é equivalente à força de 30 N e a hipotenusa à força de 50 N, que é a resultante das duas. Dito isto, o ângulo 𝝧 terá um seno igual a 0,8 e um cosseno igual a 0,6. Sendo o de 53° aproximadamente.

Existem muitos outros caso, mas esses são os que serve de referência para muitos deles. Fica a sugestão para você refletir: e se o ângulo entre os vetores força forem diferente dos casos até agora abordados, como faremos?

Posteriormente teremos a terceira lei de Newton (link) e apresentaremos forças comumente encontradas em situações de exercícios. Se não leu a postagem sobre a primeira lei de Newton, basta clicar aqui.

Ficou alguma dúvida? Comenta aí, até a próxima.

Leis de Newton: a primeira lei.

Newton foi uma mente das mais brilhantes nos últimos cinco séculos. Londrino, estudou em Cambridge. Por acaso no mesmo período em que a peste negra chegou à Inglaterra. Isto fez com que o jovem Newton se isolasse para sobreviver e aproveitasse o período de folga para estudar a natureza. Obtendo aí as sementes do que viria a ser sua grande obra: "Principia", um livro sobre os princípios matemáticos da natureza.

Isaac Newton

Principia

Nele, entre outras informações, se encontram descritas suas três leis para o movimento e a matemática necessária para aplicá-las e compreendê-las. Vamos a elas então:

Movimento Circular

Na física, o estudo dos movimentos se faz dividindo-os de acordo com a trajetória envolvida. Neste espaço será apresentado o movimento circular e suas grandezas associadas. Futuramente veremos suas particularidades.

Define-se por circunferência o conjunto de pontos equidistantes de um ponto em comum, denominado centro. A distância de cada um dos pontos ao centro é chamada de raio e a maior distância entre dois pontos de uma circunferência é o diâmetro, o dobro do raio.

Com a definição acima, iniciamos o trabalho com o movimento circular. O movimento no qual a trajetória (conjunto de pontos pelos quais o corpo passa) descrita é um círculo.

Ao assistir um filme com pessoas perdidas, sem noção de direção ou desorientadas geograficamente nos deparamos com a expressão "andando em círculos".

Tal expressão se faz presente para nos passar a impressão de que as pessoas, como na imagem acima, se movimentam e voltam ao mesmo lugar de partida ou, no mínimo, não conquistam avanço significativo.