quinta-feira, 22 de março de 2012

Poliedros de Arquimedes I: Truncados

No "artigo" sobre os poliedros de Platão eu apresentei alternativas para a construção de estruturas tridimensionais e, portanto, complexas de se imaginar ou até mesmo observar suas respectivas representações no plano.

A conclusão do material se dá com uma proposta um tanto ousada. Atravessar, com planos imaginários, as arestas em um ponto distante do vértice exatamente um terço do comprimento da aresta. 

Eu sei, parece confuso, por isso uma imagem ajudaria e bem.

Vejam o icosaedro a seguir:


Agora observem o mesmo com os "cortes" propostos:



Notem que, onde há vértice, se forma uma pirâmide de base pentagonal, que será retirada para formar o novo poliedro. As faces triangulares por sua vez, dão lugar a faces hexagonais. Observe:


Tal desafio foi proposto e cumprido primeiro por Arquimedes. Ele se ao trabalho de truncar, como é chamado o procedimento, cada um dos poliedros de Platão.

Apenas recordando. Para Platão um poliedro teria as características seguintes: 


¬ são convexos; 


¬ têm o mesmo número de lados em todas as faces; 


¬ em todos os vértices chega o mesmo número de arestas.


A segunda condição obriga que todas as face sejam idênticas. Arquimedes não se importou com isso. Ele concebeu poliedros com faces distintas, desde que regulares.


Assim sendo, ao truncar um poliedro de Platão temos de observar os seguintes resultados:


¬ as faces do novo poliedro (arquimediano) apresentam o dobro do número de arestas do antigo poliedro (platônico);


¬ os vértices, aos quais concorrem "X" arestas, do poliedro platônico são substituídos por faces de  "X"  arestas também.


Os cinco "truncados" são esses:




Com as seguintes relações:




A princípio peço que observem a coincidência entre as quantidades de vértices e arestas de dois pares de poliedros arquimedianos, isto se deve ao fato de eles serem derivados de poliedros platônicos duais.


Na próxima parte apresentarei suas estruturas de canudos e descreverei melhor cada um deles.














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