terça-feira, 19 de junho de 2012

Produtos Notáveis...

É muito comum, ao resolver um exercício, seja ele de matemática, física ou química, deparar-se com a dificuldade do aluno em compreender determinados passos matemáticos. Principalmente se as etapas envolvem produtos notáveis.


Grande parte das dificuldades relacionadas a este tema, e com as quais me deparei, se aloja na não memorização e não compreensão do significado desses produtos.


Por conta disso, resolvi montar um esquema nada inédito com as interpretações geométricas para os produtos notáveis mais simples.

Considere um quadrado de lado "a". Sua área é a². Até aqui nenhuma novidade. Agora consideremos as duas seguintes operações:

¬ Os lados do quadrado aumentam em "b" unidades. Isto significa que eles valerão (a + b) e a área será (a + b)².

¬ Os lados do quadrado diminuem em "b" unidades. Isto significa que eles valerão (a - b) e a área será (a - b)².

Como interpretar e desenvolver essas potências de soma e subtração? Vejamos a imagem abaixo:


No centro temos o quadrado de lado "a".

À esquerda, o quadrado foi acrescido de dois retângulos de lados "a" e "b" e um quadrado menor de lado "b". Por conta disso temos que (a + b)² = a² + 2ab + b². Também conhecido por "quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo".

À direita, o quadrado foi subtraído de dois retângulos de lados "a" e "b". Cabendo aqui notar um detalhe, ao subtrair os dois retângulos do quadrado, o quadrado de lado "b" é subtraído duas vezes. Sendo necessário, portanto, a soma da área (b²) dele para compensar este "excesso" que ocorre por conta da sobreposição dos dois retângulos. Por conta disso temos (a - b)² = a² - 2ab + b². Também conhecido por "quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo".

O mesmo princípio se aplica a outros produtos como:

¬ (a² - b²)


Este, à primeira vista, parece confundir, mas é mais simples do que aparenta. Tomemos como referência o quadrado de lado "a" anteriormente mencionado. Somemos "b" de dois lados paralelos e subtraiamos "b" dos demais.  A área correspondente ao produto notável está em amarelo.

Ela é a área do quadrado original (a²), subtraída do retângulo verde (ab) e somada do retângulo amarelo. Este último é a área do mesmo retângulo verde tendo a área vermelha (b²) subtraída. O saldo é que somei e subtraí um retângulo verde. Por isso o produto da soma pela diferença de dois números é dado pela diferenças de seus quadrados, ou vice e versa.

¬ (a + b)³


Sendo este último uma imagem retirada da página da wikipédia indicada no link do primeiro parágrafo desse texto.

Quaisquer dúvidas o espaço de comentários está à disposição.

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